一思想为高维空间的几何研究开辟了新路径。高斯的工作表明，空间的几何性质不仅仅取决于它在更高维空间中的嵌入方式，更取决于其自身内部的度量关系。例如，对于一个曲面，我们可以通过测量曲面上的曲线长度、角度等内在量来研究其几何性质，而不依赖于它在三维空间中的外在形状。这种内蕴几何的思想为研究四维空间以及更高维度空间提供了重要的启示，使得数学家们能够从空间自身的角度去探索其几何结构，而不是仅仅依赖于直观的三维空间想象。
随后，黎曼在1854年发表的《论作为几何基础的假设》中，提出了黎曼几何。这是一种广义的非欧几里得几何，不仅适用于三维空间，更可推广至任意维度。黎曼几何通过度规张量来描述空间的弯曲性质，为四维空间以及更高维度空间的几何研究提供了核心数学工具。在黎曼几何中，度规张量是一个二阶张量，它定义了空间中两点之间的距离度量，并且可以通过它来计算空间的曲率等重要几何量。对于四维空间，度规张量可以写成一个 4 imes4 的矩阵形式，通过对这个矩阵元素的分析和计算，我们可以精确描述四维空间的几何性质，如是否弯曲、弯曲程度如何等。
黎曼几何的提出，使得数学家们能够从理论层面深入剖析高维空间的结构与性质。它不仅为四维空间的研究提供了严谨的数学框架，也为后来爱因斯坦的广义相对论奠定了数学基础。在广义相对论中，爱因斯坦正是利用黎曼几何来描述时空的弯曲，将引力现象与时空的几何结构紧密联系起来。黎曼几何的发展，标志着人类对四维空间以及更高维度空间的数学研究进入了一个新的阶段，从早期的模糊思辨逐渐走向精确的理论构建。
6.3 物理拓展：20世纪的时空革命
20世纪初，爱因斯坦的相对论将四维空间的概念引入物理学领域，引发了一场时空观的革命。狭义相对论首次将时间与空间统一为四维时空，揭示了时空的相对